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2. 4 Mutarotation

La configuration du carbone anomérique du résidu glucose de la molécule de lactose n’est pas stable. Elle peut évoluer plus ou moins rapidement de la configuration α à la configuration β  par ouverture de l’hémiacétal et vice-versa, c’est la mutarotation. Ainsi, le lactose tend vers un équilibre thermodynamique après solubilisation

La mutarotation du lactose implique l’ouverture de la fonction réductrice du résidu glucose. Cette ouverture nécessite de l’énergie car la configuration ouverte n’est pas favorable d’un point de vue énergétique. Une fois en configuration ouverte, la molécule de lactose cherche à adopter une configuration plus stable (configuration α ou β) par reformation de son cycle glucose. Les énergies d’activation apparentes pour l’ouverture des molécules de lactose α  (Ea1) et β (Ea2) sont peu différentes (DE environ 1,25 KJ.mol-1) mais en faveur du passage du lactose de sa configuration α à β (Ea1 > Ea2). A l’équilibre, les molécules de lactose en configuration β sont donc les plus abondantes (équation [8]).
Traditionnellement, la mutarotation est suivie par polarimétrie car chaque anomère possède un pouvoir rotatoire spécifique de la lumière caractéristique ; à 20°C, il est de +89,4° pour le lactose α et +35° pour le lactose β. A l’équilibre (à 20°C) le pouvoir rotatoire spécifique d’une solution de lactose est de +55,4° correspondant à un mélange en solution constitué de 62,7% de lactose β et 37,3% de lactose α soit un rapport lactose β/α de 1,68. Ceci est observé quelle que soit la composition initiale du mélange.

2. 4. 1 Cinétique de mutarotation

La réaction de mutarotation est une cinétique du 1^er ordre :

Ainsi, après solubilisation de lactose α, sa conversion en lactose β s’exprime par :
\[ - \frac{{d{\rm{\alpha }}}}{{dt}} = {K_1}{{\rm{[\alpha ]}}_t} - {K_2}{{\rm{\beta }}_t}\]" title="equation" alt="\[ - \frac{{d{\rm{\alpha }}}}{{dt}} = {K_1}{{\rm{[\alpha ]}}_t} - {K_2}{{\rm{\beta }}_t}\]" src="eq_tex_lait/equation17.png" class="equation" />

avec  \[ - \frac{{d{\rm{\alpha }}}}{{dt}}\]" title="equation" alt="\[ - \frac{{d{\rm{\alpha }}}}{{dt}}\]" src="eq_tex_lait/equation19.png" class="equation" />  (mol.L^-1.h^-1), la vitesse de conversion du lactose α en lactose β; [α]_t et [β]_t (mol.L^-1), les concentrations en lactose α et β à l’instant t ; K₁ (h^-1), constante de vitesse de conversion du lactose β en lactose α ; K₂ (h^-1), constante de vitesse de conversion du lactose α en lactose β.
En posant [α]₀, la concentration initiale en lactose α et ([α]₀ – [α]_t) la concentration en lactose β à l’instant t, on écrit :
\[ - \frac{{d{\rm{\alpha }}}}{{dt}} = {K_1}{{\rm{[\alpha ]}}_t} - {K_2}({{\rm{\alpha ]}}_0} - {{\rm{\alpha }}_t}) = ({K_1} + {K_2}){{\rm{\alpha }}_t} - {K_2}{{\rm{\alpha }}_0}\]" title="equation" alt="\[ - \frac{{d{\rm{\alpha }}}}{{dt}} = {K_1}{{\rm{[\alpha ]}}_t} - {K_2}({{\rm{\alpha ]}}_0} - {{\rm{\alpha }}_t}) = ({K_1} + {K_2}){{\rm{\alpha }}_t} - {K_2}{{\rm{\alpha }}_0}\]" src="eq_tex_lait/equation20.png" class="equation" />

Après intégration de : \[\int_{{\alpha _0}}^\alpha { - \frac{{d{\rm{\alpha }}}}{{(({K_1} + {K_2}){{{\rm{\alpha }}}_t} - {K_2}{{{\rm{\alpha }}}_0})}}} = \int_0^t {dt} \]" title="equation" alt="\[\int_{{\alpha _0}}^\alpha { - \frac{{d{\rm{\alpha }}}}{{(({K_1} + {K_2}){{{\rm{\alpha }}}_t} - {K_2}{{{\rm{\alpha }}}_0})}}} = \int_0^t {dt} \]" src="eq_tex_lait/equation21.png" class="equation" /> on obtient \[\frac{{{K_1} + {K_2}}}{{{K_1}}}.\frac{{{{{\rm{[\alpha ]}}}_t}}}{{{{{\rm{[}}\alpha {\rm{]}}}_{\rm{0}}}}} - \frac{{{K_2}}}{{{K_1}}} = {e^{ - ({K_1} + {K_2})t}}\]" title="equation" alt="\[\frac{{{K_1} + {K_2}}}{{{K_1}}}.\frac{{{{{\rm{[\alpha ]}}}_t}}}{{{{{\rm{[}}\alpha {\rm{]}}}_{\rm{0}}}}} - \frac{{{K_2}}}{{{K_1}}} = {e^{ - ({K_1} + {K_2})t}}\]" src="eq_tex_lait/equation22.png" class="equation" />

Sachant qu’à l’équilibre (t=∞), la quantité de lactose α qui disparaît sous forme β est immédiatement régénérée (), on obtient à partir de l’équation [5] :
\[\frac{{{K_1}}}{{{K_2}}} = \frac{{{{{\rm{\beta }}}_\infty }}}{{{{{\rm{\alpha }}}_\infty }}} = {\rm{R}}\]" title="equation" alt="\[\frac{{{K_1}}}{{{K_2}}} = \frac{{{{{\rm{\beta }}}_\infty }}}{{{{{\rm{\alpha }}}_\infty }}} = {\rm{R}}\]" src="eq_tex_lait/equation25.png" class="equation" />
 

en réarrageant l'équation\[\frac{{{K_1} + {K_2}}}{{{K_1}}}.\frac{{{{{\rm{[\alpha ]}}}_t}}}{{{{{\rm{[}}\alpha {\rm{]}}}_{\rm{0}}}}} - \frac{{{K_2}}}{{{K_1}}} = {e^{ - ({K_1} + {K_2})t}}\]" title="equation" alt="\[\frac{{{K_1} + {K_2}}}{{{K_1}}}.\frac{{{{{\rm{[\alpha ]}}}_t}}}{{{{{\rm{[}}\alpha {\rm{]}}}_{\rm{0}}}}} - \frac{{{K_2}}}{{{K_1}}} = {e^{ - ({K_1} + {K_2})t}}\]" src="eq_tex_lait/equation26.png" class="equation" /> à l'aide de l'égalité \{\rm{R}} + 1 = \frac{{{{[\alpha ]}_0}}}{{{{[\alpha ]}_\infty }}}\]" title="equation" alt="\{\rm{R}} + 1 = \frac{{{{[\alpha ]}_0}}}{{{{[\alpha ]}_\infty }}}\]" src="eq_tex_lait/equation27.png" class="equation" />, il est déduit le pourcentage de mutarotation (%) du lactose α au cours du temps est : 
\[\frac{{{{{\rm{[\alpha ]}}}_0} - {{[\alpha ]}_t}}}{{{{{\rm{[}}\alpha {\rm{]}}}_{\rm{0}}} - {{[\alpha ]}_\infty }}} = 1 - \frac{{{{{\rm{[\alpha ]}}}_t} - {{[\alpha ]}_\infty }}}{{{{{\rm{[}}\alpha {\rm{]}}}_{\rm{0}}} - {{[\alpha ]}_\infty }}} = 1 - {e^{ - ({K_1} + {K_2})t}}\]" title="equation" alt="\[\frac{{{{{\rm{[\alpha ]}}}_0} - {{[\alpha ]}_t}}}{{{{{\rm{[}}\alpha {\rm{]}}}_{\rm{0}}} - {{[\alpha ]}_\infty }}} = 1 - \frac{{{{{\rm{[\alpha ]}}}_t} - {{[\alpha ]}_\infty }}}{{{{{\rm{[}}\alpha {\rm{]}}}_{\rm{0}}} - {{[\alpha ]}_\infty }}} = 1 - {e^{ - ({K_1} + {K_2})t}}\]" src="eq_tex_lait/equation28.png" class="equation" /> 

 

2. 4. 2 Equilibre thermodynamique

La mutarotation est une réaction équilibrée. Ainsi, le rapport des concentrations à l’équilibre (R) suit la loi statistique de distribution de Boltzmann et dépend de la différence d’énergie libre (ΔE = E_a2 – E_a1 ≈ 1,25 kJ.mol^-1) entre les deux anomères du lactose. Le rapport des concentrations à l’équilibre est inversement proportionnel au rapport des constantes de vitesse de conversion du lactose β en lactose α(K₁), et de conversion du lactose β en lactose α(K2) :

\{\rm{R}} = \frac{{{{{\rm{\beta }}}_\infty }}}{{{{{\rm{\alpha }}}_\infty }}} = \frac{{{K_1}}}{{{K_2}}} = \frac{{a.{e^{ - {\rm{Ea1}}/RT}}}}{{a.{e^{ - {\rm{Ea2}}/RT}}}} = {e^{{\rm{\Delta E}}/RT}}\]" title="equation" alt="\{\rm{R}} = \frac{{{{{\rm{\beta }}}_\infty }}}{{{{{\rm{\alpha }}}_\infty }}} = \frac{{{K_1}}}{{{K_2}}} = \frac{{a.{e^{ - {\rm{Ea1}}/RT}}}}{{a.{e^{ - {\rm{Ea2}}/RT}}}} = {e^{{\rm{\Delta E}}/RT}}\]" src="eq_tex_lait/equation29.png" class="equation" />

Avec E_a1 et E_a2 (≈75 kJ.mol^-1), les énergies d’activation nécessaires respectivement pour l’ouverture du cycle D-glucopyranose du lactose α et β; a, facteur de fréquence ; R (8.314 J.mol^-1.K^-1), constante des gaz parfaits ; T (K), température absolue.